Raíz cuadrada

¿Recordáis cómo se resuelve una raíz cuadrada con lápiz y papel?

[Actualización 11 de diciembre de 2011: si no lo recuerdas y has llegado aquí buscando cómo hacerlo, tengo otro artículo con la explicación.]

Si has estudiado letras, tal vez necesites que te recuerde qué es una raíz cuadrada. Al multiplicar un número por si mismo, estás calculando su cuadrado. La operación inversa, es decir, a partir de un número obtener otro número cuyo cuadrado sea el número original, es la raíz cuadrada. Por lo tanto, el cuadrado de 5 es 25, ya que 5x5=25 y la raíz cuadrada de 16 es 4 ya que 16=4x4.

Por supuesto, es muy fácil calcular la raíz cuadrada de ciertos números, como 4, 9, 16 o 25. No obstante, no es tan fácil calcular las raíces cuadradas de otros números como el 529. Para hacerlo, uno normalmente tomaría lápiz y papel y empezaría a hacer dibujitos, siguiendo unos pasos similares a los que se representan en la siguiente figura:

Cálculo de la raíz de 529 con lápiz y papel

Me tomaría mucho tiempo y espacio realizar un resumen del método, así que simplemente supondré que todos lo conocéis ya, y seguiré adelante con esta historia.

Lo que ocurre es... ¿sabéis cómo funciona el método? ¿Sabéis por qué tenemos que multiplicar los resultados parciales por dos, y luego añadir el dígito al final, y multiplicar el resultado por el mismo dígito, y luego restar el resultado...? Y, ¿tenéis alguna idea de cómo es que al final obtenemos la respuesta correcta?

Ya me parecía a mi que no :) Tened cuidado, la siguiente explicación tiene un montón de números, y de letras que representan números, que son aún peores. ¡Esta historia está en la sección "movidas de cerebritos" por algún motivo! Además, tened en cuenta que no hago matemáticas en serio desde la universidad, así que disculpad las inexactitudes.

En primer lugar, supongamos que queremos calcular la raíz cuadrada de un número de tres o cuatro cifras. Hacemos esta suposición para que la explicación sea más corta, pero como veremos más adelante, se puede extender rápidamente a cualquier número de cifras.

El número cuya raíz cuadrada queremos calcular se puede representar como x2, lo que significa que existe un número "x" que, elevado al cuadrado, da como resultado nuestro número. Este número "x" es la raíz cuadrada que queremos calcular.

Podemos escribir que x2=c0+100c1. Si c0 y c1 son números naturales, eso significa que estamos dividiendo nuestro número en dos grupos de una o dos cifras. Por ejemplo, si nuestro número es 529, entonces tenemos c1=5 y c0=29. Si es 3971, entonces c1=39 y c0=71.

Esto es análogo al primer paso de la solución de lápiz y papel, que consiste en dividir el número en grupos de dos cifras comenzando por la derecha. Nuestro ejemplo anterior, 529, se dividiría en 5 y 29.

Como sabéis, podemos representar cualquier número como la suma de otros dos números. Por ejemplo, se puede representar 7 como 2+5 ó 4+3 ó 1+6. Como la raíz cuadrada de cualquier número también es un número, también se puede representar como la suma de dos números. Esto lo escribimos así: x=a+b. Si recordáis el álgebra, sabéis que x2 = (a+b)2 = a2+b2+2ab.

Ahora tenemos que x2 = c0+100c1 = a2+b2+2ab, así que podemos intentar calcular "a" y "b" a partir de c0 y c1.

Podemos comenzar buscando el mayor número natural "y" tal que y^2=c1, que se puede escribir como y=⌊√c1⌋, lo que significa que y es el mayor número natural que es menor que o igual a la raíz cuadrada de c1. Entonces establecemos que 100y^2=a^2, lo que significa que a = 10y = 10⌊√c1⌋.

Utilizar la raíz cuadrada para calcular una raíz cuadrada puede parecer un poco... circular, pero tened en cuenta que c1 sólo tiene una o dos cifras, por lo que su raíz cuadrada sólo tiene una cifra, lo que significa que es un número de 0 a 9, por lo que es extremadamente fácil de calcular.

Este paso es análogo a buscar el número más alto entre 0 y 9 cuyo cuadrado sea inferior o igual al grupo de dígitos de más a la izquierda. En nuestro ejemplo, 529, hallaríamos y=2, ya que 22 = 4 ≤ 5, lo que nos da a = 20.

Ahora que tenemos el valor de "a" podemos restar a2 de x2, lo que nos da x2-a2 = a2+b2+2ab-a2 = b2+2ab.

En nuestro ejemplo, x2-a2 es 529-400=129. En la solución de lápiz y papel restamos 4 (22) de 5, lo que nos da 1, y luego bajamos el siguiente grupo de cifras, 29, lo que nos da 129. La equivalencia es obvia.

Continuando la expresión anterior, x2-a2 = b2+2ab = (2a+b)b = (2·10y+b)b. Ahora nos toca buscar el mayor número natural "b" de 0 a 9 tal que (2·10y+b)b ≤ x2-a2.

Esto es equivalente a, en nuestra solución, obtener el resultado parcial (2), multiplicarlo por 2 (obteniendo 4) y luego buscar un dígito "b" tal que 4b·b sea menor o igual a 129. En nuestro ejemplo, ese "b" es 3, ya que 43·3=129.

Una vez obtenidos "a" y "b", se puede emplear la anterior expresión, x=a+b, para calcular x. En nuestro ejemplo, a=20 y b=3, por lo que x=23.

Este método nos proporciona sólo la parte entera de la raíz cuadrada; esto es, el mayor número entero positivo que sea inferior o igual a la raíz cuadrada positiva del número.

También se puede usar este método para resolver los casos de más de cuatro cifras, resolviendo primero la parte entera de la raíz cuadrada de todos los dígitos salvo los dos de más a la derecha, y luego empleando el resultado como valor de "y", calculando "a" a partir de éste y luego resolviendo "b".

Por ejemplo, para resolver la raíz cuadrada de 394002 se comienza calculando la parte entera de la raíz cuadrada de 3940, que es 62, por lo que y=62 y a=620. Ahora se puede calcular b a partir de 394002-6202 = 9602 = (2·10·62+b)b = (1240+b)b, por lo que b vale entre 7 and 8, por lo que, como x=a+b está entre 627 y 628, la parte entera de la raíz cuadrada de 394002 es 627.

Y, ¿sabéis qué? Si tomáis una calculadora y escribís 394002 y el botón de la raíz cuadrada, obtendréis 627 seguido de varias cifras decimales. Así que ¡el método funciona! Y no me extraña, ya que todo eso es lo que hacemos sin darnos cuenta cada vez que resolvemos una raíz cuadrada con lápiz y papel.