La fórmula de Euler

Cuando los matemáticos acababan de descubrir (o de inventar, según a quién preguntéis) los números complejos, enseguida se pusieron a mirar qué resultado dan las operaciones matemáticas habituales si se utilizan números complejos en lugar de números reales. Una de las expresiones cuyo valor querían saber era [$e^i$], y no tenían ni idea de cómo calcularla. Una cosa que a veces hacen los matemáticos cuando tienen un problema es buscar una versión más general del problema, resolver esa versión general, y luego aplicar la solución general al caso particular para obtener la respuesta al problema que tenían originalmente. Lo que hicieron los matemáticos en este caso fue intentar averiguar cuál es el valor de [$e^{ix}$].

Todos los números complejos tienen la forma [$a+bi$], por lo tanto cualquier solución de [$e^{ix}$] también tiene la misma forma, sólo que los valores de [$a$] y [$b$] varían según el valor de [$x$]. Por eso es mejor utilizar un par de funciones en lugar de dos números: [$e^{ix}=a(x)+b(x)i$]. Si ahora averiguamos qué funciones son [$a(x)$] y [$b(x)$] podremos calcular el valor de [$e^{ix}$] para cualquier [$x$]. Para conseguirlo, una de las cosas que podemos hacer es aplicar distintas operaciones a [$e^{ix}$], observar cómo se comportan esas funciones, y ver si conocemos algunas otras funciones que presenten el mismo comportamiento bajo las mismas operaciones.

Por ejemplo, vamos a empezar calculando el valor de [$e^{i(x+y)}$]:

[$$e^{i(x+y)} = e^{ix}e^{iy} = (a(x)+b(x)i)(a(y)+b(y)i) = a(x)a(y)-b(x)b(y)+(a(x)b(y)+b(x)a(y))i = a(x+y)+b(x+y)i$$]

De lo que obtenemos que [$a(x+y) = a(x)a(y)-b(x)b(y)$] y [$b(x+y) = a(x)b(y)+b(x)a(y)$].

Otra cosa que podemos hacer es derivar [$e^{ix}$] respecto a [$x$] para obtener las derivadas de [$a(x)$] y [$b(x)$] y ver si obtenemos más información de esta manera:

[$$\frac{d}{dx}e^{ix} = ie^{ix} = i(a(x)+b(x)i) = -b(x)+a(x)i = a'(x)+b'(x)i$$]

Por lo tanto la derivada de [$a(x)$] es [$-b(x)$] y la derivada de [$b(x)$] es [$a(x)$].

Y ahora tenemos bastante información. Por un lado sabemos que [$a(x+y) = a(x)a(y)-b(x)b(y)$] y que [$a'(x) = -b(x)$], y por el otro lado sabemos que [$b(x+y) = a(x)b(y)+b(x)a(y)$] y que [$b'(x) = a(x)$]. Ahora podríamos ponernos a ver si conocemos un par de funciones con estas propiedades. (Resulta que las conocemos, pero la historia continúa, así que no voy a hacer un spoiler).

Podemos obtener aún más información sobre [$a(x)$] y [$b(x)$]. Igual que hemos derivado [$e^{ix}$] una vez para obtener las derivadas de [$a(x)$] y [$b(x)$], también podemos volver a derivar y seguir calculando más y más derivadas. Por otro lado, también conocemos el valor de [$e^{ix}$] para [$x=0$]: este valor resulta ser [$e^{i0}=e^0=1$], con lo que [$a(0)=1$] y [$b(0)=0$]. Podemos utilizar estas dos cosas para calcular series de Taylor de [$a(x)$] y [$b(x)$] centradas en [$x=0$]. Con las series de Taylor podemos calcular el valor de la función en cualquier punto, o incluso ver si esas series de Taylor corresponden a algunas funciones conocidas.

Vamos a empezar calculando unas cuantas derivadas de [$a(x)$] y [$b(x)$] a través de las derivadas de [$e^{ix}$]. La primera derivada ya la tenemos, así que aquí está la segunda derivada:

[$$\frac{d}{dx}ie^{ix} = i^2e^{ix} = -e^{ix} = -a(x)-b(x)i = a''(x)+b''(x)i$$]

Tercera derivada:

[$$\frac{d}{dx}-e^{ix} = -ie^{ix} = b(x)-a(x)i = a'''(x)+b'''(x)i$$]

Cuarta derivada:

[$$\frac{d}{dx}-ie^{ix} = -i^2e^{ix} = e^{ix} = a(x)+b(x)i = a''''(x)+b''''(x)i$$]

La cuarta derivada es igual a la función original, así que la quinta será igual a la primera derivada, la sexta a la segunda, etc.

Con esta información podemos ya pasar a calcular las series de Taylor de [$a(x)$] y [$b(x)$] centradas en [$x=0$] (sus amigos las llaman "series de Maclaurin de [$a(x)$] y [$b(x)$]", pero yo todavía no tengo tanta confianza).

Para [$a(x)$]:

[$$a(0)-\frac{b(0)}{1!}x-\frac{a(0)}{2!}x^2+\frac{b(0)}{3!}x^3+\frac{a(0)}{4!}x^4-\frac{b(0)}{5!}x^5-\frac{a(0)}{6!}x^6+... = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$$]

Para [$b(x)$]:

[$$b(0)+\frac{a(0)}{1!}x-\frac{b(0)}{2!}x^2-\frac{a(0)}{3!}x^3+\frac{b(0)}{4!}x^4+\frac{a(0)}{5!}x^5-\frac{b(0)}{6!}x^6-... = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$$]

Así que ya tenemos las series de Maclaurin de [$a(x)$] y [$b(x)$]. Ahora, si eres una persona normal, esto sólo te permite calcular los valores de [$a(x)$] y [$b(x)$] para cualquier [$x$] con la precisión que quieras. Sin embargo, si te llamas Leonhard Euler y el año es 1748 observarás que esas son las series de Maclaurin de las funciones coseno y seno, respectivamente, por lo que te ganas el derecho a que le pongan tu nombre a una fórmula.

Fórmula de Euler: [$e^{ix} = \cos{x}+i\sin{x}$]

Regresemos a los primeros resultados que obtuvimos antes de que dijera que no quería hacer spoilers. Tenemos que [$a(x)=\cos x$] y [$b(x)=\sin x$]. La derivada de [$\cos x$] es [$-\sin x$] y la de [$\sin x$] es [$\cos x$], que se corresponde perfectamente con los resultados que habíamos obtenido de [$a'(x) = -b(x)$] y [$b'(x) = a(x)$]. Por el otro lado tenemos que [$\cos{x+y} = \cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}$] y que [$\sin{x+y} = \sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y}$], que se corresponden con los resultados de [$a(x+y) = a(x)a(y)-b(x)b(y)$] y [$b(x+y) = a(x)b(y)+b(x)a(y)$]. Todo coincide. ¡Hurra!

Y ahora que hemos resuelto el problema general podemos regresar al problema inicial y calcular el valor de [$e^i$], que es [$\cos{1}+i\sin{1} \approx 0.5403+0.8415i$]

(Podéis llamarme cosas y poner comentarios en general en la historia asociada en Google+).