En este artículo comento algunas de las cosas que se pueden hacer con números complejos. Hay dos formas de representar un número complejo: forma cartesiana y forma polar. Algunas operaciones con números complejos son más fáciles en forma polar y otras lo son en forma cartesiana, y este artículo se centra en la forma polar y en lo útil que es para hacer procesamiento de señales, que es un tema en el que estoy interesado últimamente.
Voy a comenzar hablando de planos. Imaginad que marco un punto
Todo punto
Ahora regresemos a los números complejos, y veamos qué valor tiene un número complejo
Todo esto significa que un número complejo representa un punto en un plano, y que, igual que los puntos del plano se pueden representar en coordenadas cartesianas
Seguramente os preguntaréis por qué no bastaba con tener una sola forma de representar los números complejos, y para qué queremos dos. La cuestión es que algunas operaciones son más sencillas de hacer en forma polar que en forma cartesiana. Por ejemplo, para multiplicar dos números complejos en forma cartesiana la operación es:
¡Vaya atracón de multiplicaciones y sumas! Sin embargo, multiplicar dos números complejos en forma polar sólo requiere una suma y un producto, y nada más:
Y aquí podéis ver otra interesante propiedad de los números complejos: al multiplicar dos números complejos, sus ángulos se suman. Esto nos permite “girar” un número complejo, es decir, cambiar su ángulo: simplemente lo multiplicamos por otro número complejo de la forma
“¿Y por qué a Jacobo le parece interesante esta propiedad?”, os preguntaréis. Muy simple: esta propiedad es muy útil para hacer procesamiento digital de señales. Y para ver por qué es util, antes tenemos que ver una señal. En el dibujo de la derecha podéis ver la “señal” más típica del mundo: una onda senoidal de amplitud y frecuencia fijas. Uno puede describir esta onda como una función respecto del tiempo
Si le preguntáis a alguien que se dedique al procesamiento de señales, os dirá que sí, que el dibujo de la derecha es correcto, pero que en realidad el seno y el coseno de un ángulo son la suma o la diferencia de dos números complejos: por un lado,
Vamos a ver qué podemos hacer con
Otra cosa que podemos hacer es cambiar su frecuencia. Para ello tenemos que multiplicar la onda por otra onda de amplitud 1 y de la frecuencia que queramos sumar a la onda original. Por ejemplo, si queremos sumar
Una tercera cosa que podemos hacer es cancelar su frecuencia completamente, multiplicando la señal por otra de la misma frecuencia, pero negada, para convertirla en una onda de frecuencia 0 (es decir, en un valor constante, que no varía con el tiempo). El valor resultante es un número complejo que nos permite conocer la amplitud y la fase de la onda. Como ejemplo, multiplicamos la señal de arriba por
Y ahora es cuando voy a escribir dos cosas súper importantes, con las que terminaré el artículo de hoy. La primera es que igual que una onda senoidal se puede representar como la suma de dos ondas complejas, cualquier señal se puede representar como una suma de infinitas ondas complejas, cada una con su propia amplitud, frecuencia y fase. No lo voy a demostrar, pero os prometo que es verdad. La segunda cosa súper importante es que es posible calcular todas esas amplitudes y fases para cada una de las frecuencias que componen una señal. Se pueden obtener para una sola frecuencia haciendo lo que hicimos arriba: multiplicando la señal por una onda compleja de frecuencia negativa y examinando el número resultante. También se puede hacer al por mayor, para todas las frecuencias al mismo tiempo, utilizando la Transformada de Fourier (no la de Fournier; ésa es otra). Pero la Transformada de Fourier es un tema sobre el que se podrían escribir páginas y páginas, y este artículo ya es bastante largo, así que mejor lo dejaré para otro día.