Estoy participando en un juego en el que arrojo un dado. Si saco un 6 tengo derecho a otra tirada. Si vuelvo a sacar un 6, tengo una tirada más. Suponiendo que no tengo un tope de tiradas; es decir, que mientras siga sacando 6 puedo seguir tirando, ¿cuántas tiradas haré de media?
No me interesa que me digan la solución del problema. Lo que me interesa es que me digan de cuántas formas saben solucionarlo, si no contamos “realizar el experimento” y “simular el experimento” :)
A mi se me han ocurrido tres maneras.
Ah, y la solución del problema es 1,2 tiradas.
Actualización: la primera de mis soluciones es la siguiente:
Cuando voy a arrojar el dado sé que de media lo voy a acabar arrojando E(X) veces. Mi objetivo es averiguar E(X).
Comienzo arrojando el dado por primera vez. Pueden pasar dos cosas: si no he sacado un 6, se ha acabado y ya no arrojo más dados. Por lo tanto, habré arrojado el dado 1 vez. Esto ocurre con probabilidad 5/6. Si he sacado un 6 lo voy a arrojar más veces. ¿Cuántas? Precisamente E(X) veces de media. Por lo tanto, al terminar habré arrojado el dado 1+E(X) veces. Esto ocurre con probabilidad 1/6.
Por lo tanto, puedo escribir que E(X) = \(\frac{5}{6} + \frac{1 + E(X)}{6}\). Despejando E(X) en esta fórmula sale que \(E(X) = \frac{6}{5}\). Es decir, 1,2.
Las otras dos soluciones son sucesiones. La primera es E(X) = \(1+\frac{1}{6}+\frac{1}{6^2}+\cdots\) = \(\sum\nolimits_{i=0..\infty}\frac{1}{6i}\). Esta sucesión expresa que tienes 1 tirada segura; con probabilidad 1/6 tienes otra; con probabilidad 1/6² tienes otra más, y así sucesivamente. Esta sucesión tiene como solución E(X) = 6/5.
La segunda es E(X) = \(\frac{5}{6}+2\frac{5}{6^2} + 3\frac{5}{6^3} + \cdots\) = \(\sum\nolimits_{i=1..\infty}i\frac{5}{6^i}\). Esta no es más que la definición de esperanza matemática aplicada al problema: con probabilidad 5/6 haré 1 tirada; con probabilidad 5/6² haré 2 tiradas, etc. Se puede demostrar que esta sucesión es equivalente a la anterior, por lo que el resultado es el mismo.
Envíen sus soluciones, si tienen otras :)